Die Obertonreihe

Die Tonleiter der Natur

Die Obertonreihe ist die Aneinanderreihung der harmonischen Teiltöne eines Klangs.

Die Obertonreihe ist die älteste Melodie der Welt und gleichzeitig die wichtigste Tonleiter, denn sie ist die Ursache aller Musik. In der Natur klingt sie allerdings nur als Akkord, d.h., alle Töne der Tonleiter klingen gleichzeitig.

Die Obertonreihe von A (110 Hz)

Die Obertonreihe von A (110 Hz).

Die Skala stammt nicht vom Menschen, sondern ergibt sich unmittelbar aus den Schwingungsgesetzen der Natur. Sie macht ein universelles Wellenprinzip im Universum hör- und erlebbar. Die Töne weichen von unserem gewohnten (dem gleichstufig temperierten) Tonsystem ab. Dennoch ist dieses letztlich, wie alle anderen Tonsysteme auch, auf die Obertonreihe zurückzuführen.

Der Grund ist, dass wir Tonfolgen innerlich zu kleinen Akkorden zusammensetzen und dann unbewußt mit der Obertonreihe vergleichen. Weil wir Übereinstimmungen mit der Obertonreihe mögen, erfanden wir Tonsysteme, die auf natürlichen Intervallen aufbauen. Die Kulturen haben dabei aber nicht immer dieselben Intervalle als schön empfunden. Daher gibt es viele verschiedene Tonsysteme in der Welt und in der Musikgeschichte der Völker.

Was sind Obertöne?

Obertöne sind Sinustöne, die oberhalb der Grundfrequenz eines natürlichen Tons mitschwingen und als Akkord den Tonklang erzeugen.

Teilschwingungen einer Saite.

Bei jeder Schwingung entstehen oberhalb der Grundfrequenz schnellere Schwingungen, die sich überlagern. Das ist ein universelles Verhalten der Natur, ob es sich um Schall- oder eine andere Schwingungen handelt.

Saiten schwingen harmonisch. Das heisst, die Saite schwingt zusätzlich zur Grundschwingung auch noch in ganzzahligen Teilabschnitten, also über die halbe Länge, 1/3, 1/4, 1/5 usw. der Saitenlänge. Diese Schwingungen treten alle gleichzeitig auf und überlagern sich zur Gesamtschwingung. Isoliert sehen die Teilschwingungen aus wie im folgenden Bild.

Empfehlenswertes Video der ARD Mediathek

Videos, die das Entstehen einer Welle demonstrieren

Ausbreitung einer Welle in einer Saite.

Stehende Wellen.

Entstehen der Welle in einer Saite durch Wanderung von Impulsen.

Die Obertonreihe anhören

In diesem Video kannst Du die Obertonreihe von a (220 Hz) sehen und hören. Das Video wurde mit Overtone Analyzer aufgenommen.

Der Obertonakkord

Beim Singen und in Instrumenten klingen alle Teiltöne der Obertonreihe gleichzeitig. Unser Gehirn fasst diese Bündel zusammenhängender Obertöne zu einem einzigen Klang zusammen und ordnet sie jeweils einer Schallquelle zu. Der Grundton wird als Tonhöhe, die Obertöne als Klangfarbe wahrgenommen. Allerdings ist den meisten Sängern nicht bewusst, dass sie eigentlich mit jedem Ton einen ganzen Akkord von Teiltönen singen. Unser Gehirn hat ein archaisches Wissen über diesen Akkord. Es kann offenbar schon vor der Geburt Teiltonakkorde als Klänge einer Schallquelle erkennen, z. B. die Mutterstimme.

Teiltonakkord von c mit Spektrum und Spektrogramm

Beim Singen des Tons c klingt die gesamte Obertonreihe als Akkord mit.

Obertöne und Klangfarbe

Ein solcher Akkord von Teiltönen klingt wie ein einziger Ton, der aber eine Klangfarbe hat. Während ein Ton ohne Obertöne farblos ist. Ein Ton mit Obertönen wird in der Physik als Klang bezeichnet. Musiker und Physiker meinen mit diesem Wort also unter Umständen etwas Verschiedenes!

Unterschiedliche Klangfarben entstehen durch unterschiedliche Lautstärken der Obertöne (neben Geräuschanteilen und Einschwingverhalten). Der persönliche Stimmklang eines Menschen entsteht also durch eine für jeden Menschen typische Lautstärkeverteilung der Obertöne. Singen zwei Menschen denselben Ton, dann unterscheiden sie sich nur in den Obertonlautstärken. Wenn man die Obertöne einzeln filtert, erkennt man die Personen nicht mehr. Die Lautstärkeverteilung enthält unzählige Informationen: Vokale, Identifikation der Person, physisches und psychisches Befinden, Alter usw.

Spektrum des Singtons c auf den Vokal ä.

Spektrum eines gesungenen c mit seinen Obertönen und der typischen Lautstärkeverteilung für den Vokal ä.

Mithilfe von Klangspektren und Spektrogrammen kann man den Zusammenhang visualisieren. Klanganalyseprogramme zerlegen den Klang in seine Einzelfrequenzen und stellen die Lautstärken farbig dar. Der von Bodo Maass und mir entwickelte Overtone Analyzer ist darauf spezialisiert, Musikern Klang-Zusammenhänge leicht verständlich aufzubereiten.

Das Klangspektrum (Frequenzspektrum) ist eine Möglichkeit, den Klang optisch darzustellen. Das Spektrum zeigt die Lautstärkeverteilung der Obertöne beim gesungenen Vokal ä. Jede Spitze entspricht einem Oberton, je weiter rechts die Spitze, desto lauter ist der Oberton. Ganz unten ist der Grundton. Nach oben erhöht sich die Frequenz, also die Tonhöhe, nach rechts die Lautstärke. (Aufgenommen mit Overtone Analyzer).

Das Spektrogramm (auch Sonagramm genannt) ist eine weitere Darstellungsform für Klänge. Die Lautstärke wird hier in Farben gezeigt, im Beispiel je roter, desto lauter. Jede Querlinie entspricht einem Oberton. Ganz unten ist der Grundton. Nach oben erhöht sich die Frequenz, also die Tonhöhe, von links nach rechts läuft die Zeit. (Aufgenommen mit Overtone Analyzer).

Intervalle

Die Intervallfolge der Obertonreihe ist immer gleich. Die Intervalle sind nur von der Position in der Reihe abhängig. Z. B. ist das Intervall vom 2. zum 3. Teilton immer eine Quinte. Egal mit welchem Ton man beginnt, ergibt sich daher immer die gleiche Melodie vom jeweiligen Grundton aus. Nach oben werden die Intervalle immer enger (während der Frequenzabstand aber gleich bleibt, siehe unten). Alle benachbarten Intervalle sind einzigartig und kommen in der Reihe nur genau einmal vor. Jedes Intervall wiederholt sich, nachdem es einmal vorgekommen ist, in den Oktaven darüber mit neuen Zwischentönen.

Der Obertonschieber (Bild) zeigt die Intervalle von Teilton zu Teilton und von Teilton zum Grundton. Er stellt sozusagen die Klaviertasten des Obertongesangs dar. Auf einem Sington kann man nur Intervalle singen, die im Schieber vorkommen; meist sogar nur einen Teil davon (vgl. Ambitus von Obertongesang). Das Intervall zum Grundton bestimmt den harmonischen Zusammenhang. Z. B. wird der 5. Teilton als Durterz empfunden. Will man einen Quartsprung in einer Obertonmelodie singen, dann findet man sie zwischen dem 3. und 4. Teilton und wählt den Grundton entsprechend.

Intervalle der Obertonreihe

Intervalle der Obertonreihe – der Obertonschieber.

Frequenzen

Die Frequenzen der Teiltöne sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Diesen mathematischen Zusammenhang nennt man eine “harmonische Reihe”. Das bedeutet, der Frequenzabstand zwischen zwei Teiltönen ist immer identisch mit der Grundfrequenz. Die Frequenzen lassen sich also sehr einfach berechnen und schön übersichtlich darstellen.

Komplizierter ist die Berechnung des Intervalls aus den Frequenzen. Während die Frequenz eines beliebigen Teiltons schnell im Kopf berechnet ist, lernt man die Intervalle besser auswendig (ausser, man kann Logarithmen im Kopf rechnen…).

Beispiel

Frequenzen der Teiltöne von A (110 Hz) berechnen:

1. Teilton – 1-fache Frequenz = 110 Hz
2. Teilton – 2-fache Frequenz = 220 Hz,
3. Teilton – 3-fache Frequenz = 330 Hz,

11. Teilton – 11-fache Frequenz = 1210 Hz usw.

Alle Teiltöne von A haben also denselben Frequenzabstand von 110 Hz.

Der Abstand der Teiltöne des Grundtons c (130,8 Hz) wären dann – man ahnt es – 130,8 Hz. Also immer identisch mit der Grundfrequenz.

Beispiel

Frequenzen der Teiltöne von c (130,8 Hz) berechnen:

1. Teilton – 1-fache Frequenz = 130,8 Hz
2. Teilton – 2-fache Frequenz = 261,6 Hz,
3. Teilton – 3-fache Frequenz = 392,4 Hz,

11. Teilton – 11-fache Frequenz = 1.439 Hz usw.

Alle Teiltöne von c haben also denselben Frequenzabstand von 130,8 Hz.

Frequenzen – physikalisch oder musikalisch

Die beiden folgenden Abbildungen zeigen die Darstellung der Obertonreihe mit linearer Frequenz und mit logarithmischer Frequenz.

Obertonreihe - lineare Frequenzdarstellung.

1In der physikalischen Darstellung werden die Frequenzen linear angezeigt. Vorteil: Es ist leichter zu rechnen und man sieht, dass alle Teiltöne gleichen Frequenzabstand haben und dass er identisch ist mit der Grundfrequenz.

Obertonreihe musikalisch - logarithmische Frequenzen.

2

In der musikalischen Darstellung sind die Intervalle linear und die Frequenzen logarithmisch angezeigt (wie wir sie hören). Vorteil: Für Musiker intuitiver verständlich, die Intervalle sind besser zu erkennen.

Frequenzen in Intervalle umrechnen

Unser Ohr hört Intervalle als Frequenzverhältnisse. Eine Vervielfachung mit der gleichen Zahl wird als gleiches Intervall gehört. 100 und 200 Hz haben einen Frequenzabstand von 100 Hz. Gleichzeitig ist 200 Hz die 2-fache Frequenz (Verhältnis 2:1) von 100 Hz. Eine Verdopplung der Frequenz wird als Oktave gehört. zwischen 200 und 300 Hz liegen wieder 100 Hz Abstand. Aber 300 Hz sind das 3/2-fache von 200 Hz. Diese 100 Hz Abstand werden als Quinte gehört. Wir hören also nicht den Abstand, sondern das Verhältnis als Intervall. So ist 400 Hz eine Oktave über 200 Hz, weil es das Verhältnis 2:1 hat. Die Umrechnung von Abstand in Verhältnisse erledigt der Logarithmus. Hier ist die Formel, mit der man Frequenzabstände in Intervalle umrechnet. Die Intervalle werden in cent, also 1/100 Halbtönen berechnet, so dass ein Wert von 100 genau einen (gleichstufig temperierten) Halbton ergibt:

\inline \LARGE Cent = 1200\cdot \tfrac{log\left ( \frac{a}{b} \right )}{log2}

a = erste Frequenz

b = zweite Frequenz

Nummerierung der Obertöne

http://de.wikipedia.org/wiki/Schlagton

Obertöne werden auf zwei verschiedene Arten nummeriert. Das kommt daher, dass manche den Grundton mitzählen, andere nicht. Eigentlich sind Obertöne nur die Töne über dem Grundton. Da die Nummerierung vom Grundton aus aber Vorteile hat, sollte man dann besser von Teiltönen sprechen, da der Grundton auch als Teilton des Klangs betrachtet wird.

Ich bevorzuge die Nummerierung der Teiltöne (bzw. Harmonischen, s. u.).

  1. Sie hat den Vorteil, dass sich aus der Ziffer unmittelbar die Frequenz ergibt. Der 14. Teilton hat die 14-fache Frequenz des Grundtons, Teilton 23 die 23-fache usw.
  2. Auch die Frequenzverhältnisse der Intervalle ergeben sich unmittelbar aus den Teiltonnummern. Beispiel: Der 3. Teilton ist die Quinte in der 2. Oktave. Sie hat die 3-fache Frequenz des Grundtons. Der 2. Teilton ist die Oktave zum Grundton. Die beiden benachbarten Teiltöne 2 und 3 bilden eine Quinte und haben das Frequenzverhältnis 2:3 (aufwärts betrachtet) oder 3:2 (abwärts betrachtet). Deren Verdopplungungen sind wieder Quinten. So bilden also die Teiltonpaare 3/6, 12/24 usw. jeweils ebenfalls Quinten mit demselben Frequenzverhältnis (da man die Brüche auf 2/3 kürzen kann).

In der Abbildung sieht man, dass die Oktaven bei der Teiltonnummerierung immer gerade Zahlen sind, während sie bei der Obertonnummerierung ungerade sind. Das kann für Musiker Bedeutung haben: Die Klarinette kann z. B. durch Überblasen nur die ungerade Teiltöne erzeugen, also keine Oktaven. Selbst in Lehrbüchern steht das machmal falsch. Für Obertonsänger hat es natürlich besondere Bedeutung, weil ihre Musik mit den Teiltonnummern geschrieben wird.

Tabelle der Obertöne

Manchmal sind die Zahlen nützlich. Musiker brauchen sie aber normalerweise nicht.

Teilton Nr.
Oberton Nr.
Intervall zum Grundton
Cent zum Grundton
Cent zum temp. Ton
Intervall zum vorherigen Teilton
Cent zum vorh. Teilton
Cent zum temp. Intervall
Beispiel 110 Hz
18174 Oktaven + gr. Sekunde50044kl. Sekunde99-11980
17164 Oktaven + kl. Sekunde49055kl. Sekunde10551870
16154 Oktaven48000kl. Sekunde1121760
15143 Oktaven + gr. Septime4688-12kl. Sekunde1191650
14133 Oktaven + kl. Septime4569-311281540
13123 Oktaven + kl. Sexte4441411391430
12113 Oktaven + Quinte430223/4-Ton1511320
11103 Oktaven + überm. Quarte4151-49Gr. Sekunde165351210
1093 Oktaven + gr. Terz3986-14Gr. Sekunde (Kl. Ganzton)182181100
983 Oktaven + gr. Sekunde38044Gr. Sekunde (Gr. Ganzton)2044990
873 Oktaven36000Gr. Sekunde23131880
762 Oktaven + kl. Septime3369-315/4-Ton267770
652 Oktaven + Quinte31022Kl. Terz31616660
542 Oktaven + gr. Terz2786-14Gr. Terz386-14550
432 Oktaven24000Quarte498-2440
32Oktave + Quinte19022Quinte +2ct7022330
21Oktave12000Oktave12000220
1GrundtonPrime00110

Die Tabelle zeigt:

  1. Spalte: Nummerierung der Teiltöne incl. Grundton. Diese Nummerierung ist nützlicher.
  2. Spalte: Nummerierung der Obertöne, der Grundton wird nicht mitgezählt.
  3. Spalte: Intervall zum Grundton.
  4. Spalte: Intervall zum Grundton in Cent (100-stel Halbton).
  5. Spalte: Cent-Abweichung zum nächstliegenden gleichstufig temperierten Ton.
  6. Spalte: Intervall zwischen den Teiltönen.
  7. Spalte: Intervall zwischen den Teiltönen in Cent (100-stel Halbton).
  8. Spalte: Cent-Abweichung zum gleichstufig temperierten Intervall.
  9. Spalte: Beispielfrequenzen für den Ton a mit 110 Hz.

Glossar

Obertöne, Teiltöne, Harmonische…

Spektren von Ton, Klang, Geräusch Spektrogramme von Ton, Klang, Geräusch

Abbildungen: Spektren (oben) und Spektrogramme von links: 1. Sinuston, 2. Klang (synthetisch: Sägezahnton), 3. Klang (Stimme), 4. unharmonischer Klang (Klangschale), 5. Geräusch (weisses Rauschen).

Hier ein paar Begriffe, die manchmal Verwirrung stiften:

Sinustöne (Abb. 1. von links) haben keine Obertöne, sind also Schwingungen mit nur einer Frequenz. Die wahrgenommene Tonhöhe entspricht nicht immer der eines natürlichen Tons, der auf derselben Grundfrequenz gespielt wird. Hohe Sinustöne kommen uns oft zu tief vor. Sinustöne sind ein mathematisches Konstrukt. Reale komplett obertonfreie Töne gibt es nicht, es ist immer ein Klang- oder Geräuschanteil dabei.

Klang (Abb. 2. und 3. von links) ist in der Akustik ein Ton mit Obertönen. In der Musik wird der Begriff meist anders verwendet und kann z. B. die Klangfarbe meinen. Jeder reale natürliche Ton ist ein Klang. Sinustöne gibt es in der Natur nur näherungsweise.

Geräusche (Abb. 5. von links) sind Schallereignisse, die so dichte Obertöne oder ständig in der Frequenz wechselnde Obertöne haben, dass wir keine Tonhöhe mehr wahrnehmen. Es gibt aber fließende Übergänge zu Klängen. Je nach Ausprägung spricht man dann von Geräuschen mit Toncharakter bis zu Klängen mit Geräuschanteil.

Teiltöne (synonym: Partialtöne) sind alle (Sinus-)Töne, aus denen ein Klang besteht, inklusive des Grundtons. Sie werden vom Grundton (dem mit der tiefsten Frequenz) an gezählt. Es kann harmonische und unharmonische Teiltöne geben, auch beides gemischt. Harmonische Teiltöne schwingen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, unharmonische Teiltöne mit nichtganzzahligen.

Harmonische. Kurzform für “harmonische Teiltöne”. Teiltöne mit ganzahligen Vielfachen der Grundfrequenz werden auch als Harmonische bezeichnet. Bei Harmonischen entsprechen die Intervalle immer der natürlichen Obertonreihe. Harmonische sind also immer auch Teiltöne. Die meisten Melodieinstrumente und auch die menschliche Stimme haben harmonische Obertöne.

Obertöne sind alle Teiltöne oberhalb des Grundtons. Die Nummerierung beginnt oberhalb des Grundtons, also beim 2. Teilton. Daher ist die Nummerierung der Obertöne immer um 1 niedriger als die der Teiltöne. Es kann harmonische und unharmonische Obertöne geben, auch beides gemischt.

Unharmonische Teiltöne/Obertöne (Abb. 4. von links): Trommeln, Glocken, Gongs, Klangschalen oder Xylophone sind Beispiele von Instrumenten mit unharmonischen Teiltönen/Obertönen. Das heisst, die Frequenzen der Obertöne sind keine ganzzahligen Vielfache der tiefsten Frequenz. Es gibt auch Klänge, die sowohl harmonische als auch unharmonische Obertöne enthalten. Von Grundton kann man bei unharmonischen Klängen oft nicht sprechen, weil die gehörte Tonhöhe manchmal nicht die des tiefsten Teiltons ist, wie z. B. der Schlagton einer Glocke.

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