The Harmonic Series

The Musical Scale of Nature

Definition

The harmonic series is the chord of partials that vibrate simultaneously when a natural tone is played.

The harmonic series is the basis of all tonal systems, because it is the only natural scale. Overtones resonate as soon as a tone sounds. They all sound at the same time. So the harmonic series is actually a chord. The structure is always the same and corresponds to a mathematical harmonic series, hence the name series. You normally don’t hear the overtones. Because they all vibrate simultaneously as a chord, they appear to us like a single note.

The term overtone series refers to the harmonic partials (to distinguish between overtone, partial and harmonic, see below). There are also sounds with inharmonic overtones. The more inharmonic overtones a sound contains, the more it acquires the character of a noise.

Harmonic series of A2 110 Hz

Harmonic series of A2 110 Hz

All sounds consist of overtone chords. Only sine waves have no overtones. One sound differs from the other mainly by the volume of the individual overtones (besides noise components and temporal sound changes). The harmonic series is not only the basis for music, it allows us to speak and sing, to recognize people by their voice, to locate sounds and to distinguish a piano from a flute.

This scale does not originate from humans, rather it arises directly from the laws of vibration. It follows a universal wave principle of the universe and makes this audible and experienceable for us. The tones deviate from our usual equally tempered tone system. Nevertheless, the equal tempered system, like all other tone systems, is derived from the harmonic series.

The reason for this is that we internally assemble tone sequences into small chords and then unconsciously compare them with the overtone series. Because we love similarities with the overtone series, we invented tone systems based on natural intervals. However, cultures have not always found the same intervals beautiful. Therefore there are over 3000 different tone systems in the world.

Our western system with 12 semitones per octave, for example, is based on an idea from ancient Greece: to use the interval between the second and third harmonics – the fifth – as a basis and then layer it twelve times on top of each other.

Harmonic Series – Sound Sample

In the following video you see and hear the overtone series of A3 (220 Hz). The video was recorded by Bodo Maass with our software Overtone Analyzer.

Chord of Harmonics

When singing and in instruments, all partials of the overtone series sound simultaneously. Our brain combines these partial tones into a single note and assigns them to a single sound source. The frequency spacing between the partials is perceived as the pitch, the volume distribution of the overtones as the timbre. Most singers are not aware that they always sing whole chords of partials. Our brain has an archaic knowledge about this chord. It can apparently recognize partial chords as sounds of one sound source even before birth, e.g. the mother voice.

Harmonic series of C3 as a chord, with spectrum and spectrogram

When singing the note C3, the entire overtone series is heard as a chord.

Timbre

Such a chord of partials sounds like a single note, which has a timbre. While a note without overtones (sine wave) is colorless. A tone with overtones is called a sound in physics. Musicians and physicists may mean something different with this word!

Different timbres are created by different volumes of the overtones besides noise and attack characteristics. A person’s personal vocal sound is thus created by a distribution of the volume of the overtones that is individual for each person. If two people sing the same tone, then they differ only in the overtone volumes. If the overtones are filtered individually, the person is no longer recognizable. The volume distribution contains countless pieces of information: Vowels, identification of the person, physical and mental condition, age, etc.

Spectrum of a sung C3 on the vowel æ.

Spectrum of a sung C3 with its overtones and the typical volume distribution for the vowel æ.

Sound spectra and spectrograms can be used to visualize that relationship. Sound analysis programs break down the sound into its individual frequencies and display the volumes graphically in color. Overtone Analyzer, developed by Bodo Maass and myself, is specialized in presenting sound concepts to musicians in a way that is easy to understand.

The sound spectrum / frequency spectrum is a possibility to visualize sound. The spectrum displays the volume distribution of the overtones of the sung vowel. Each peak corresponds to an overtone, the further to the right the peak, the louder is the overtone. At the bottom is the fundamental. Upwards the frequency, i.e. the pitch, rises, and to the right the volume increases. (Recorded with Overtone Analyzer).

The spectrogram (also called sonagram) is another form of visualization for sounds. The volume is shown here in colors. In the example more red means louder. Each horizontal line corresponds to an overtone. At the bottom we see the fundamental. The frequency, i.e. the pitch, increases upwards. Time runs from left to right. (Recorded with Overtone Analyzer).

Harmonic Series – Intervals

The interval sequence of the harmonic series is always the same. The intervals depend only on the position in the row. For example, the interval from the 2nd to the 3rd harmonic is always a fifth. Regardless of which tone you start with, the series results always in the same melody from the respective keynote. The intervals become increasingly narrower towards the top (while the frequency spacing remains the same, see below). All adjacent intervals are unique and occur only once in the series. Each interval repeats itself, once it has occurred, in the octaves above with new intermediate tones.

The overtone slider (picture) displays the intervals from harmonic to harmonic and from the fundamental to the harmonic. It is the keyboard of overtone singing so to speak. On one singing note, you can only perform intervals that occur in the slider, and usually only a part of them (cf. Ambitus of overtone singing). The interval to the fundamental tone determines the harmonic perception. For example, the 5th partial tone is perceived as major third. If you want to sing a quart in an overtone melody, you will find it between the 3rd and 4th harmonic and then you choose the fundamental accordingly.

Intervals of the harmonic series – the overtone slider.

Harmonic Series – Frequency Ratios

The frequencies of the partials are integer multiples of the fundamental frequency. This mathematical relationship is called a “harmonic series”.

This means that the frequency spacing between two partials is always identical to the fundamental frequency.

The frequencies can therefore be calculated very easily and displayed clearly. The calculation of intervals from the frequencies is more complex this way, however. While the frequency of any partial tone is quickly mental-calculated, you better learn the intervals by heart (unless you can calculate logarithms in mentally..).

Example

Frequenzen der Teiltöne von A (110 Hz) berechnen:

1. Teilton – 1-fache Frequenz = 110 Hz
2. Teilton – 2-fache Frequenz = 220 Hz,
3. Teilton – 3-fache Frequenz = 330 Hz,

11. Teilton – 11-fache Frequenz = 1210 Hz usw.

Alle Teiltöne von A haben also denselben Frequenzabstand von 110 Hz.

Der Abstand der Teiltöne des Grundtons c (130,8 Hz) wären dann – man ahnt es – 130,8 Hz. Also immer identisch mit der Grundfrequenz.

Example

Frequenzen der Teiltöne von c (130,8 Hz) berechnen:

1. Teilton – 1-fache Frequenz = 130,8 Hz
2. Teilton – 2-fache Frequenz = 261,6 Hz,
3. Teilton – 3-fache Frequenz = 392,4 Hz,

11. Teilton – 11-fache Frequenz = 1.439 Hz usw.

Alle Teiltöne von c haben also denselben Frequenzabstand von 130,8 Hz.

Musicians and Physicists

Du kannst die Frequenzen der Obertonreihe linear oder logarithmisch darstellen. Musiker bevorzugen die logarithmische Darstellung, weil die Intervallabstände so aussehen, wie wir sie hören. Physiker stellen die Frequenzen oft linear dar. Den Unterschied veranschaulichen die folgenden Grafiken.

1. Logarithmische Frequenzdarstellung für Musiker: In der musikalischen Darstellung sind die Intervalle wichtig. Sie werden deshalb so dargestellt, wie wir sie hören, nämlich linear. Musiker brauchen Frequenzinformationen eigentlich nur zum Stimmen von A. Vorteile: Musiker verstehen die Darstellung intuitiv, die Intervallabstände entsprechen unserem Hören.

Overtone series from a musical point of view - logarithmic frequencies.

2. Lineare Frequenzdarstellung für Physiker: In der physikalischen Darstellung werden die Frequenzen so gezeigt, dass Frequenzabstände sofort erkennbar sind. Vorteil: Es ist leichter, damit zu rechnen und man sieht auf einen Blick, dass alle Teiltöne denselben Frequenzabstand haben. Und der ist identisch mit der Grundttonfrequenz.

Overtone series from a physical point of view - linear frequencies.

Converting Frequencies into Pitches

Unser Ohr hört Intervalle als Frequenzverhältnisse. Eine Vervielfachung mit der gleichen Zahl wird als gleiches Intervall gehört. 100 und 200 Hz haben einen Frequenzabstand von 100 Hz. Gleichzeitig ist 200 Hz die 2-fache Frequenz (Verhältnis 2:1) von 100 Hz. Eine Verdopplung der Frequenz wird als Oktave gehört. zwischen 200 und 300 Hz liegen wieder 100 Hz Abstand. Aber 300 Hz sind das 3/2-fache von 200 Hz. Diese 100 Hz Abstand werden als Quinte gehört. Wir hören also nicht den Abstand, sondern das Verhältnis als Intervall. So ist 400 Hz eine Oktave über 200 Hz, weil es das Verhältnis 2:1 hat.

Die Umrechnung von Abstand in Verhältnisse erledigt der Logarithmus. Hier ist die Formel, mit der man Frequenzabstände in Intervalle umrechnet. Die Intervalle werden in cent, also 1/100 Halbtönen berechnet, so dass ein Wert von 100 genau einen (gleichstufig temperierten) Halbton ergibt:

a = erste Frequenz

b = zweite Frequenz

Overtones vs Harmonics

https://en.wikipedia.org/wiki/Strike_tone

Overtones are numbered in two different ways. This is because some people count the fundamental, others do not. Overtones are actually only the tones above the fundamental. However, since the numbering including the fundamental has advantages, it is better to speak of harmonics (or partials), since the fundamental tone is also considered as a partial tone of the sound.

I prefer the numbering of partials (or harmonics, see below), thus including the fundamental.

  1. Partial tone numbering has the advantage that the frequency ratio results directly from the digit. The 14th partial tone has a 14-fold frequency of the fundamental tone, partial tone number 23 has a 23-fold frequency, etc.
  2. The frequency ratios of the intervals are also derived directly from the partial tone numbers. Example: The 3rd partial is the fifth in the 2nd octave. It has three times the basic frequency. The 2nd partial tone is the octave to the fundamental. The two adjacent partials 2 and 3 have a frequency ratio of 2:3 (upwards) or 3:2 (downwards) and sound as a fifth. Their doublings are fifths again. So the partial tone pairs 4/6, 8/12 etc. also form fifths with the same frequency ratio (since the fractions can be shortened to 2/3).

The illustration shows that the octaves are always even numbers in the case of partial tone (harmonics) numbering, whereas they are odd in the case of overtone numbering. This can be important for musicians: For example, the clarinet can only produce the odd partials by overblowing, i. e. no octaves. Even textbooks sometimes say that wrong. For overtone singers it has of course special meaning, because their music is notated with the partial tone numbers.

Natural Tone Series vs. Harmonic Series

Die Naturtonreihe hat den gleichen tonalen Aufbau wie die Obertonreihe, aber sie ist nicht dasselbe. Während die Teiltöne der Obertonreihe reine Sinustöne sind, bestehen die Töne der Naturtonreihe jeweils aus Teiltönen und haben eine eigene Obertonreihe.

Natural Tone SeriesHarmonic Series
Tone sequence that can be produced on wind instruments (tubes) by overblowing or changing the lip frequency.Partials of a real sound.
Natural tones are real tones and have their own overtones.Partial tones (harmonics) are pure tones and do not have overtones themselves.

Examples: Harmonic series of F and E

Mit der Software Overtone Analyzer kannst Du Obertonreihen jedes beliebigen Tons unmittelbar bestimmen, incl. Tonname, Frequenz und Cent-Abweichung vom temperierten System, und Du kannst sie Dir auch gleich anhören. Es gab mal eine free-edition, deren Entwicklung von Sygyt-Software 2015 eingestellt wurde. Gelegentlich findet man die alte 4.0.0 Version von 2015 im Internet.

Du kannst Dir die Obertonreihe (1-24) unten als MuseScore-Datei (→MuseScore kostenloses Notenschreibprogramm) und MusicXML-Datei herunterladen und sie nach Bedarf transponieren und anhören. Die Centabweichungen bleiben für jede Position der Harmonischen in der Reihe unabhängig vom Grundton immer gleich. Die Noten sind schon entsprechend gestimmt.

Harmonic series of E

Harmonics 1-24 of E2

Harmonic series of F

Harmonic series from F2
Harmonic series from F2

Table of Harmonics

Manchmal sind Zahlen nützlich.

Teilton-Nr.Oberton-Nr.Intervall zum GrundtonCent zum GrundtonIntervall zum Teilton darunterCent zum Teilton darunter
18174 Oktaven + gr. Sekunde + 4ct5004kl. Sekunde -1ct99
17164 Oktaven + kl. Sekunde +5ct4905kl. Sekunde +5ct105
16154 Oktaven4800kl. Sekunde +12ct112
15143 Oktaven + gr. Septime -12ct4688kl. Sekunde +19ct119
14133 Oktaven + kl. Septime -31ct4569kl. Sekunde +28ct128
13123 Oktaven + kl. Sexte +41ct4441kl. Sekunde +39ct139
12113 Oktaven + Quinte +2ct43023/4-Ton151
11103 Oktaven + überm. Quarte -49ct4151Gr. Sekunde +35ct165
1093 Oktaven + gr. Terz -14ct3986Gr. Sekunde (Kl. Ganzton) +18ct182
983 Oktaven + gr. Sekunde +4ct3804Gr. Sekunde (Gr. Ganzton) +4ct204
873 Oktaven3600Gr. Sekunde +31ct231
762 Oktaven + kl. Septime -31ct33695/4-Ton267
652 Oktaven + Quinte +2ct3102Kl. Terz +16ct316
542 Oktaven + gr. Terz -14ct2786Gr. Terz -14ct386
432 Oktaven2400Quarte -2ct498
32Oktave + Quinte +2ct1902Quinte +2ct702
21Oktave1200Oktave1200
1GrundtonPrime0Prime0
  1. Spalte: Nummerierung der Teiltöne incl. Grundton. Diese Nummerierung ist nützlicher.
  2. Spalte: Nummerierung der Obertöne, der Grundton wird nicht mitgezählt.
  3. Spalte: Intervall zum Grundton mit Cent-Abweichung zum nächstliegenden gleichstufig temperierten Ton..
  4. Spalte: Intervall zum Grundton in Cent (100-stel Halbton).
  5. Spalte: Intervall zwischen den Teiltönen (immer zum darunter liegenden) mit Cent-Abweichung zum gleichstufig temperierten Intervall.
  6. Spalte: Intervall zwischen den Teiltönen in Cent (100-stel Halbton).

What are Overtones?

Obertöne sind Sinustöne, die oberhalb der Grundfrequenz eines natürlichen Tons mitschwingen und als Akkord den Tonklang erzeugen.

Harmonics of a string

Bei jeder Schwingung entstehen oberhalb der Grundfrequenz schnellere Schwingungen, die sich überlagern. Das ist ein universelles Verhalten der Natur, ob es sich um Schall- oder eine andere Schwingungen handelt.

Saiten schwingen harmonisch. Das heisst, die Saite schwingt zusätzlich zur Grundschwingung auch noch in ganzzahligen Teilabschnitten, also über die halbe Länge, 1/3, 1/4, 1/5 usw. der Saitenlänge. Diese Schwingungen treten alle gleichzeitig auf und überlagern sich zur Gesamtschwingung. Isoliert sehen die Teilschwingungen aus wie im folgenden Bild.

Videos: Wave Formation

Ausbreitung einer Welle in einer Saite.

Stehende Wellen.

Entstehen der Welle in einer Saite durch Wanderung von Impulsen.

Glossary of Terms

Obertöne, Teiltöne, Harmonische…

Spectra of tone, sound, noise
Spectrograms of tone, sound, noise

Abbildungen: Spektren (oben) und Spektrogramme von links: 1. Sinuston, 2. Klang (synthetisch: Sägezahnton), 3. Klang (Stimme), 4. unharmonischer Klang (Klangschale), 5. Geräusch (weisses Rauschen).

Sinustöne (Abb. 1. von links) haben keine Obertöne, sind also Schwingungen mit nur einer Frequenz. Die wahrgenommene Tonhöhe entspricht nicht immer der eines natürlichen Tons, der auf derselben Grundfrequenz gespielt wird. Hohe Sinustöne kommen uns oft zu tief vor. Sinustöne sind ein mathematisches Konstrukt. Reale komplett obertonfreie Töne gibt es nicht, es ist immer ein Klang- oder Geräuschanteil dabei.

Klang (Abb. 2. und 3. von links) ist in der Akustik ein Ton mit Obertönen. In der Musik wird der Begriff meist anders verwendet und kann z. B. die Klangfarbe meinen. Jeder reale natürliche Ton ist ein Klang. Sinustöne gibt es in der Natur nur näherungsweise.

Geräusche (Abb. 5. von links) sind Schallereignisse, die so dichte Obertöne oder ständig in der Frequenz wechselnde Obertöne haben, dass wir keine Tonhöhe mehr wahrnehmen. Es gibt aber fließende Übergänge zu Klängen. Je nach Ausprägung spricht man dann von Geräuschen mit Toncharakter bis zu Klängen mit Geräuschanteil.

Teiltöne (synonym: Partialtöne) sind alle (Sinus-)Töne, aus denen ein Klang besteht, inklusive des Grundtons. Sie werden vom Grundton (dem mit der tiefsten Frequenz) an gezählt. Es kann harmonische und unharmonische Teiltöne geben, auch beides gemischt. Harmonische Teiltöne schwingen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, unharmonische Teiltöne mit nichtganzzahligen.

Harmonische. Kurzform für “harmonische Teiltöne”. Teiltöne mit ganzahligen Vielfachen der Grundfrequenz werden auch als Harmonische bezeichnet. Bei Harmonischen entsprechen die Intervalle immer der natürlichen Obertonreihe. Harmonische sind also immer auch Teiltöne. Die meisten Melodieinstrumente und auch die menschliche Stimme haben harmonische Obertöne.

Obertöne sind alle Teiltöne oberhalb des Grundtons. Die Nummerierung beginnt oberhalb des Grundtons, also beim 2. Teilton. Daher ist die Nummerierung der Obertöne immer um 1 niedriger als die der Teiltöne. Es kann harmonische und unharmonische Obertöne geben, auch beides gemischt.

Unharmonische Teiltöne/Obertöne (Abb. 4. von links): Trommeln, Glocken, Gongs, Klangschalen oder Xylophone sind Beispiele von Instrumenten mit unharmonischen Teiltönen/Obertönen. Das heisst, die Frequenzen der Obertöne sind keine ganzzahligen Vielfache der tiefsten Frequenz. Es gibt auch Klänge, die sowohl harmonische als auch unharmonische Obertöne enthalten. Von Grundton kann man bei unharmonischen Klängen oft nicht sprechen, weil die gehörte Tonhöhe manchmal nicht die des tiefsten Teiltons ist, wie z. B. der Schlagton einer Glocke.

Literatur & Quellen

Itemizations

O A. Scala Home Page. http://www.huygens-fokker.org/scala/ (zugegriffen: 18. November 2015).

Literature Section Physics of the Harmonic Series

Picture Credits

24 replies
  1. physiker says:

    Als Physiker kannte ich dies alles bereits,
    finde es aber echt gut erklärt! Kompliment!

    Jetzt fehlt nur noch eine genauso gute Herleitung für
    “Dur” + “Moll”.
    WAS das ist und WIESO es so festgelegt ist…

    Reply
  2. Beate Eckert says:

    Hallo Wolfgang,
    nochmal bzgl. des Sinustons:
    Hatte letztens Sabine und Astrid ( vom Workshop EBE)
    den Overtone Analyzer gezeigt.Wir plagten uns zunächst auf
    U einen auberen Sinuston zu erreichen, bis wir plötzlich merkten, dass
    das auf einem dumpfen I viel einfacher geht.
    Gibt’s das?
    Liebe Grüße,
    Beate

    Reply
  3. Boban says:

    Super Infos, hilft mir wunderbar mit meiner Hausarbeit über Klangfarben. Ich hätte allerdings eine Frage, gibt es eine direkte Literatur bezüglich der Charakteristik von Klangfarben? Also eine Art Handbuch, welches mir zum Beispiel sagt, welcher Frequenzbereich welche Auswirkung auf den Klang hat. Ich lese auf verschiedenen Seiten immer wieder Dinge wie “Je weniger Obertöne erklingen, desto dumpfer, flacher und weicher ist die Klangfarbe”, allerdings finde ich nie Literaturangaben zu solchen Zitaten.
    Beste Grüße und vielen Dank im Voraus.

    Reply
  4. Beate Eckert says:

    Hallo Wolfgang,
    Zu deinem Beitrag am 9.1.17
    Meinst Du wirklich ein dunkelgefärbtes O für den Sinuston?
    Wenn ich auf dem tiefen d ein hauchiges U singe ist beim Overtone Analyzer fast nix
    anderes zu sehen (hören).Sobald ich nur Richtung O ‘denke’ kommt der 2.Teilton,also die Oktave hinzu.Um die Quinte (3.TT) in Vokaltechnik zu hören mach ich dann schon eher ein OA…
    Aber vllt. liegt’s an der Sopranlage ?
    Es macht auf jeden Fall Spass mit dem OTAnalyzer zu testen :)

    Reply
  5. Lutz Felbick says:

    Oft benutze ich statt des Begriffs Obertonreihe den Begriff Teiltonreihe, denn die Vorstellung von oben und unten basiert auf der Notenschrift und entspricht nicht der physikalischen Vorstellungswelt. Man kann auf diese Weise auch vom 4. Teilton sprechen und kommt damit sofort zur richtigen Zahl 4. Aber das soll keine Kritik sein, sondern lediglich das Aufzeigen einer anderen Möglichkeit. Bei dem Begriff Teiltonreihe hat sich auch die Frage erledigt, ob es eine Untertonreihe gibt. Zweifellos gibt es deratige tiefe Töne unter dem Bezugston, aber das würde ich nicht in unmittelbarer Beziehung zu den Teiltönen sehen.

    Reply
  6. Lutz Felbick says:

    Kurze Frage: wie klingt eigentlich ein Gesang, der kein Obertongesang ist? Ist nicht jeder Gesang ein Obertongesang?

    Reply

Trackbacks & Pingbacks

  1. handpan.at says:

    […] Mehr Infos über die Obertonreihe hier […]

  2. […] Oberton & Kehlkopfgesang […]

  3. […] oder als mikrotonal überbordende Neue Musik, die ihr Klangspektrum aus der natürlichen Obertonreihe ableitet. Am besten aber als beides – oder einfach den waghalsigen Versuch, glückliche Musik […]

  4. […] wird als HS 1 (= 1. harmonische Schwingung) bezeichnet, der erste Oberton als HS 2 – perfekt zusammengefasst von Obertonexperte Wolfgang Saus. Die Nummerierung der Obertonreihe reicht aus, um Obertöne sicher identifizieren zu […]

  5. […] Oberton & Kehlkopfgesang […]

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